À la fin du XIXe siècle le mathématicien original Georg Cantor a proposé une belle théorie sur les nombres finis ou transfinitos, selon qui le nombre total de fractions, des nombres entiers et de nombres naturels sont le même nombre transfinito à celui qu'Aleph sous-zéro a appelé. À première vue il ne semble pas un peu raisonnable, puisque l'on pourrait penser que le nombre d'entier sont plus grands que le nombre de natifs, puisque tout nombre naturel est un entier tandis que quelque entier (les négatifs) n'est pas nombres naturels. D'une forme similaire on pourrait penser, aussi, que le nombre de fractions sont plus grands que celui d'entier, mais une chose est ce qui paraît et l'autre qui est.
La clé est dans les propriétés étrangères des nombres infinis et des relations qui peuvent s'établir entre ceux-ci. Pour des objets finis de deux différents ensembles si nous pouvons établir une "correspondance l'un uno - ou", entre les deux, on peut déduire qu'ils ont le même nombre d'éléments. Pour un nombre fini de nombres naturels il arrive le même, mais qui est évident pour des nombres finis l'arrête d'être pour des infinis.
L'un on peut établir une correspondance uno - ou entre les nombres naturels et les nombres entiers de la forme suivante : 0 (un entier)-> 0 (natif);-1 (j'informe)-> 1 (natif); +1 (un entier)-> 2 (un natif) et ainsi nous suivons indéfiniment avec la planche suivante :
Chaque entier et chaque nombre naturel apparaissent une et seulement une fois dans la planche. Cette correspondance entre chaque paire de nombres un entier - natif est ce qu'il établit dans la théorie de Chanteur que le nombre d'éléments de la colonne d'entier sont égaux au nombre d'éléments dans la colonne de natifs. Par conséquent, le nombre d'entier sont le même que celui de natifs. D'une forme similaire, bien qu'un peu plus compliquée, on puisse prouver que l'ensemble de fractions (rationnelles) a le même nombre d'éléments que l'ensemble d'entier. Le nombre est infini, mais il n'importe pas, c'est le même nombre.
Le grand mathématicien David Hilbert a inventé la métaphore de l'Hôtel Infini pour expliquer d'une forme intuitive les paradoxes auxquels il nous oppose à l'existence d'infinité d'infinis :
"Il y avait un hôtel qui avait des pièces infinies. Un jour un nouvel hôte arrive pour se loger là, mais le concierge lui dit qu'il n'avait pas de chance, qu'étaient toutes crues. L'hôte, indigné appelle le gérant, et lui demande comment il était possible dans un hôtel avec des pièces infinies. Le gérant lui donne raison, mais il dit qu'il ne peut rien faire, alors l'hôte répond rapidement : ‘ déjà que l'on peut faire; auquel il est dans la pièce 1 envoie à la pièce 2, à celui de la pièce 2 à 3 et j'ai saisi successivement, alors la pièce 1 restera libre pour moi. Le gerenteencontró ma
ravillosa cette solution et ainsi il l'a fait". "Quelques jours après un autre hôte arrive et il demande de se loger, à ce qu'ils lui répondent que l'hôtel était plein, mais qu'il ne se préoccupât pas, qu'ils savaient comment le résoudre. Alors cet hôte dit qu'il y avait un problème, qu'il n'était pas seul, mais avec un groupe d'amis … et qu'était un groupe infini. Le gérant, encore une fois consterné ne savait pas quoi faire, mais l'hôte, aussi très habile lui dit qu'il ne se préoccupe pas, que j'ai envoyé à celui de la pièce 1 à 2, à celui de 2 à 4, à celui de 3 à 6 et j'ai pris racine successivement. De cette forme toutes les pièces avec des nombres impairs resteraient libres pour ses infinis amis."
Les ensembles qui peuvent être mis à une correspondance l'un uno - ou avec les nombres naturels ils s'appellent numerables, de manière que les ensembles infinis numerables aient aleph sous-zéro éléments.
D'une façon surprenante, bien que le système soit agrandi des nombres naturels à l'entier et jusqu'aux rationnels, nous n'augmentons pas réellement le nombre d'objets avec lesquels nous travaillons!.
Après nous pourrions penser tout cela que tous les ensembles infinis sont numerables, mais il n'est pas ainsi, il y a pas seulement un type d'infini, donc la situation est très différente après avoir passé aux nombres réels. Le chanteur a démontré grâce à l'argument de la "coupure diagonale" qu'il y a réellement plus de nombres réels que rationnels. Le nombre de réels est le nombre transfinito C, constamment, un autre nom qui reçoit le système des nombres réels.
Nous pourrions penser lui donner à ce nombre le nom d'aleph sous-l'un, par exemple. Mais ce nom représente le nombre suivant transfinito plus grand qu'aleph sous-zéro et le fait de décider si effectivement C = Aleph sous-l'un constitue un problème fameux pas résolu, la soi-disant hypothèse du continu.
Comme curiosité, puisque nous parlons des infinis, le terme gugol (en anglais googol) est énorme numéro 10100 il a été frappé en 1938 par Milton Sirotta, un enfant de 9 ans, neveu du mathématicien américain Edward Kasner. Kasner a annoncé le concept dans son livre Les mathématiques et l'imagination. Isaac Asimov a dit dans une occasion à ce sujet : "Nous aurons à éternellement souffrir un nombre inventé par un bébé". Le gúgol n'est pas particulièrement important dans les mathématiques et il n'a pas non plus d'usages pratiques. Kastner l'a créé pour illustrer la différence entre un nombre inimaginablemente grand et l'infini, et parfois il est utilisé de cette façon dans l'enseignement des mathématiques. Le moteur de recherche de google a été appelé ainsi gráce à ce nombre. Les fondateurs originaux allaient le nommer Googol, mais ils ont fini avec Google dû à une erreur d'orthographe de Larry Page, l'un des fondateurs de Google.
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